Опять же, что за слеши вы удаляете?

Слеши на главной, сейчас http://site-na-cotonti.com////

1) Откуда взялись дубли index.html и index.php?

Их не должно быть по определению.

Если есть обычно убирается всё через .htaccess:

RewriteCond %{THE_REQUEST} ^[A-Z]{3,9}\ /index\.(php|html)\ HTTP/
RewriteRule .* / [R=301,L]

Опять же, что за слеши вы удаляете?

Для убирания дублей главной страницы (index.php, index.html ) 
в файл system/header.php добавил код:

if ( preg_match('/^\/index.php$/', $_SERVER['REQUEST_URI']) || preg_match('/^\/index.html$/', $_SERVER['REQUEST_URI'])){ cot_die_message(404); exit;}

А для удаления лишних слешей в конце адресной строки

if ( preg_match('!/{2,}!', $_SERVER['REQUEST_URI']) ){  $url = preg_replace('!/{2,}!', '/', $_SERVER['REQUEST_URI']); header('Location: ' . $url , false, 301); exit;}

Вроде работает, но есть сомнения, что это не правильно... Но эти параметры нужно учитывать с точки зрения seo.

И еще, как вот например есть url

https://www.сайт-на-котонти.com/?amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;preview=true&p=1259

 как сделать, чтобы котони отдавал 404 ошибку?